Proffessor M.Steffensen

Kom hem från Göteborg efter en vistelse hos släkt och på universeum, ja, hmmm....jo imorn ska jag på kalas hos några vänner till familjen å sen blir det en sväng till fritidsgården, som vanligt!

Ha det!

P.S. Kolla vad jag hitta, Steffensen's teori!

Simple description

The simplest form of the formula for Steffensen's method occurs when it is used to find the zeros, or roots, of a function f, that is, to find the input value x_\star that satisfies f(x_\star)=0. Near the solution x_\star, the function f is supposed to approximately satisfy -1 < f'(x_\star) < 0, which makes it adequate as a correction function for finding its own solution, although it is not required to be efficient. For some functions, Steffensen's method can work even if this condition is not met, but in such a case, the starting value x0 must be very close to the actual solution x_\star, and convergence to the solution may be slow.

Given an adequate starting value x_0\ , a sequence of values x_0,\ x_1,\ x_2,\dots,\ x_n,\dots can be generated. When it works, each value in the sequence is much closer to the solution x_\star than the prior value. The value x_n\ from the current step generates the value x_{n+1}\ for the next step, via this formula[1]:

x_{n+1} = x_n - \frac{f(x_n)}{g(x_n)}

for n = 0, 1, 2, 3, ... , where the slope function g(xn) is a composite of the original function f given by the following formula:

g(x_n) = \frac{f(x_n + f(x_n)) - f(x_n)}{f(x_n)}

The function g is the average slope of the function ƒ between the last sequence point (x,y)=( x_n,\ f(x_n) ) and the auxiliary point (x,y)=( x_n + h,\ f(x_n + h) ), with the step h=f(x_n)\ . It is only for the purpose of finding this auxiliary point that the value of the function f must be an adequate correction to get closer to its own solution. For all other parts of the calculation, Steffensen's method only requires the function f to be continuous, and to actually have a nearby solution. Several modest modifications of the step h in the slope calculation g exist to accommodate functions f that do not quite meet this requirement.

The main advantage of Steffensen's method is that it can find the roots of an equation f just as "quickly" as Newton's method but the formula does not require a separate function for the derivative, so it can be programmed for any generic function. In this case quickly means that the number of correct digits in the answer doubles with each step. The cost for the quick convergence is the double function evaluation: both f(xn) and f(xn + f(xn)) must be calculated, which might be time-consuming if f is a complicated function. For comparison, the secant method needs only one function evaluation per step, so allowing for two function evaluations the secant method can do two steps and two steps of the secant method increase the number of correct digits by a factor 2.6 while one step of Steffensen's (or Newton's) method increases it by a factor 2.

Similar to Newton's method and most other quadratically convergent methods, the crucial weakness with Steffensen's method is the choice of the starting value x0 . If the value of x0 is not "close enough" to the actual solution, the method may fail and the sequence of values x_0, x_1, x_2, x_3,\dots may either flip flop between two extremes, or diverge to infinity (possibly both!).
[edit] Derivation using Aitken's delta-squared process

The version of Steffensen's method implemented in the MATLAB code shown below can be found using the Aitken's delta-squared process for accelerating convergence of a sequence. To compare the following formulas to the formulas in the section above, notice that x_n = p\ -\ p_n . This method assumes starting with a linearly convergent sequence and increases the rate of convergence of that sequence. If the signs of p_n,\ p_{n+1},\ p_{n+2} agree and p_n\ is sufficiently close to the desired limit of the sequence p\ , we can assume the following:

\frac{p_{n+1}-p}{p_n-p}\approx\frac{p_{n+2}-p}{p_{n+1}-p}

then

(p_{n+1}-p)^2\approx(p_{n+2}-p)(p_n-p)

so

p_{n+1}^2-2p_{n+1}p+p^2\approx p_{n+2}p_n-(p_n+p_{n+2})p+p^2

and hence

(p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n)p\approx p_{n+2}p_n-p_{n+1}^2 .


Solving for the desired limit of the sequence p gives:

p\approx \frac{p_{n+2}p_n-p_{n+1}^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}


=\frac{p_{n}^2+p_{n}p_{n+2}+2p_{n}p_{n+1}-2p_{n}p_{n+1}-p_{n}^2-p_{n+1}^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}


=\frac{(p_{n}^2+p_{n}p_{n+2}-2p_{n}p_{n+1})-(p_{n}^2-2p_{n}p_{n+1}+p_{n+1}^2)}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}


=p_n-\frac{(p_{n+1}-p_n)^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}


Which results in the more rapidly convergent sequence:

p\approx p_{n+3}=p_n-\frac{(p_{n+2}p_n-p_{n+1})^2}{p_{n+2}-2p_{n+1}+p_n}

Under the sea...

Under the sea, under the sea...den låten är ju skitbra, inte nog med de så e de shaggy som sjunger den, 10x bättre!

Idag e de ngt fruktansvärt, föpillat, fötjusande väder ute (grotesco) å tänkte ta mej en liten cyckeltur ner till cafét snart...sen ska jag fixa på en kick på moppen så ja kan köra ner den till sture-bluff så dem får fixa startmotorn...

Nu får ja börja, ha det!

Uppdatering!

Sådär, nu kommer det en liten uppdatering...har ju vart lite tunt av demÄntligen lov måste ja säga, dags å ta igen dem timmarna man har förlorat under de här tio veckorna i skolan...funderar om de blir en sväng till sandbergs å en kopp kaffe snart, kanske de kanske...sen ska man i alla fall upp till kyrkan och musikmässan i eftermidda....

Ha det!

Nina's

I morse blev de arbetarfrukost på Nina's...mycket gott! Korv, ägg å potatis...(stekt såklart)!!

Hadehadeni...

Rosa Hjältar

På länken har ja, krille å tobbe blivit fotade av rosa bandets "rosa hjältar" (vi e stolta!) http://rosahjaltar.se/1997

Ha det!

Fullbokad...

Detta har gjorts idag: tandläkarbesök, tågåkning, fönstershopping, lunchbuffé, bussresa, cafésittning, klippbokning....ja en hel del faktiskt!

Imorn blire frukost på Nina's me kompisar...gott!

Hade!

Salomos sång...

Som salomos sång, din du bekräftar gång på gång...som salomos sång, tonerna dem lättar mitt hjärta nu när vägen blitt lång...denna låten av Governor Andy hörde jag spelas från EB-games på torget idag, en kille med rastaflätor stod vid kassan....detta gjorde min dag faktiskt!

Laddar inför både promenad, tandläkarbesök och resa till vårat goa göteborg imorn... längtar!

Hade gött så länge!

Äggmackor...

...å bacon me kjellgren och italiano, fan va gott de va! Mätt å "redo" inför samhällskunskapen....

HadeHade!

Från ovan sända...

...för många unga tjejer nu för tiden dem mår inte bra, bättre självförtroende vill dem ha, dem söker efter något men vet inte va, så ja ska krama hela bunten så kanske nån blir glad!

var inte taskiga eller hårdhänta, alla najsa tjejer är från ovan sända. Var inte taskiga eller hårdhänta, alla sköna kvinnorna e från ovan sända. Var inte taskiga eller hårdhänta, alla vackra kvinnorna dem e från ovan sända...

bra och sann text, de får bli mitt inlägg för ikväll...

Ha det!!

Västtrafik...

...har verkligen lyckats ta nobelpris i det krångligaste betalsystemet i kollektivtrafiken på JORDEN!!! Blir bara allmänt trött på dem...jaja...va som sagt inne i göteborg ida å firade en kompis som fyllde 16 i fredas...TACK JC å era presentkort som löser de mesta...

Dagens/Veckans/Årets ris går till västtrafik å deras usla betalningssystem!

Ha de!

Staden på G!

Ännu en GT-runda skriven på sitt CV...in till göteborg ikväll å fira en kompis, får se till å hitta en present nere på torget sen..orkar inte skriva så mycket mer nu, får bli ikväll.

HadeHade!

Dansken!

Danskarna har vunnit och jag är varken glad eller ledsen över det, grattis danmark....har spelat lite frisbeégolf idag med kristoffer och brawo, men vi orkade bara nio hål. Tänkte att ja skulle sova snart, eftersom att ja ska upp och sälja GT imorn...jäkla GT-runda, orkar inte med de mer! Imorn väntar göteborg...

Hade gött!

Livselixir!

Sextonåriindustristaden...

Då har man fyllt sexton, ännu ett år..."hon hade oxfilé i frysen, trallala"...bra låt av Governor Andy, på tal om inget. Tyska "prov" imorn eller ett lite större läxförhör rättare sagt...hoppas de går bra, annars e de lugnt i skolan..för å va natur! Café udda imorn kväll, detta får ju inte missas...hoppas de blir mycket folk!

Ha de göttans!!

Va bara tvungen!

Nu går det!

Nu ska alla som vill kunna kommentera...tror ja!

Onödigt, tycker jag...

...ja fundera på rubriken, inget å gö med inlägget. Sönda kväll igen å månda imorn=skolfoto! Men innan dess e de tyska på A-plan. Blev lite firad i förväg i helgen, fick bl.a. RAM-minne, parfym, kläder...

Haa de!

Blåbärstårta!

Ja ida blir de lite hemmakväll å "förfirande" av min födelsedag med tårta! Vet inte va ja ska skriva men de e skönt med lörda, fast vädret kunde ju ha vart bättre, fast mysigt ändå!Tänkte plugga osså men ja tror ja flyttar de till imorn istället...

Plugga lugnt!

Konstigt..

Hmmm, hallå igen! Konstig dag ida, kom till idrotten på morgonen å gjorde sånt där konditionstest, tyckte det gick bra å de visade sig att min kondition var "ganska så bra". Sen gick vi in i hallen å körde lite volleybol, ja kände mig törstig så ja gick å drack. Ja kände en klump i halsen, precis som om ja skulle spy, å de gjorde jag....jaja...gick upp å dusha å sedan mådde jag rätt så bra...(bilden har inget med texten å göra, tyckte bara den va fin).





Mattias har lärt sig: stress+utebliven frukost+ansträgning går inte bra ihop!





Nää, ha de så gött!